某单位男员工所占比例不足一半，新招聘了8名员工，男员工人数增加了8%，女员工人数增加了6%，问原来该单位男员工比女员工少多少人？
该题为小p老师的数量关系理论课课后作业练习一的第13题，提供的方法是：男、女员工人数分别增加8%和6%，又因为人数一定是正整数，因此将其化为最简真分式$\frac{2}{25}$ 和$\frac{3}{50}$，说明男女员工人数分别为25和50的倍数。故设原有男员工 $25a$ 人、女员工 $50b$ 人，由新招聘8名员工得出：
$$2a+3b=8$$新招聘的8名员工是具体的人，故 $2a$ 和 $3b$ 作为男女员工的增加量，应当均为正整数，由此解得 $b=2$，$a=1$。故该题答案为原有25名男员工，100名女员工，男员工比女员工少75人。
小p老师在讲解中默认了a与b均为正整数。有人可能会对此疑惑：若a与b不均为正整数，那么得出a与b的具体值就比较困难。例如当$a=3,b=\frac{2}{3}$时，符合2a与3b均为正整数（此例中女员工人数 $50b=\frac{100}{3}$ 不是整数，故不符合题意），这恰好说明下述命题中 $nb\in\mathbb{Z}_{>0}$ 这一条假设不可去掉。为避免钻牛角尖，本文给出这一方法的数学证明。
这一问题的关键在于：仅由 $2a+3b=8$ 且 $2a$、$3b$ 为正整数，能否推出 $a$、$b$ 必为正整数。也就是要证明在上述做题过程中a与b同时为正整数必定成立，故可以转化为如下命题：
设 $m,n,o,p$ 均为正整数，$a,b$ 为实数。若
$$ma,\ nb,\ oa,\ pb,\ oa+pb \in \mathbb{Z}_{>0}$$且
$$\gcd(m,o)=1,\qquad \gcd(n,p)=1$$则
$$a,b \in \mathbb{Z}_{>0}$$即 $a$ 和 $b$ 都是正整数1。
证明如下： 因为 $\gcd(m,o)=1$，由裴蜀定理2，存在整数 $u,v$，使得
$$ um+vo=1 $$两边同时乘以 $a$，得
$$ a=(um+vo)a=u(ma)+v(oa) $$由题设：
$$ ma\in\mathbb{Z}_{>0}\subset\mathbb{Z},\qquad oa\in\mathbb{Z}_{>0}\subset\mathbb{Z} $$又 $u,v\in\mathbb{Z}$，所以
$$ u(ma)+v(oa)\in\mathbb{Z} $$因此
$$ a\in\mathbb{Z} $$又因为 $ma\in\mathbb{Z}_{>0}$，所以 $ma>0$。而 $m$ 是正整数，即 $m>0$。于是
$$ a=\frac{ma}{m}>0 $$既然 $a$ 是整数且 $a>0$，所以
$$ a\in\mathbb{Z}_{>0} $$同理可证明$b\in\mathbb{Z}_{>0}$，证明过程略。
小p老师方法的关键在于他提出了需要把增长率化为最简真分式，这就保证了互质条件的存在，即$\gcd(m,o)=1$ 。换句话说，只要保证两个增长率$\frac{o}{m}$ 和$\frac{p}{n}$ 化为最简，就可以利用裴蜀定理证明。更一般地，可以总结为如下结论：只要各增长率化为最简分数 $\frac{o}{m}$ 和 $\frac{p}{n}$，且人数与增量均为正整数，则由裴蜀定理可保证参数 $a$、$b$ 必为正整数，从而“总增量 $=oa+pb$”这类不定方程可以在正整数范围内求解。
符号说明：$\mathbb{Z}$：整数集合。$\mathbb{Z}_{>0}$：正整数集合，即 $\{1,2,3,\dots\}$。$\gcd(m,o)$：$m$ 与 $o$ 的最大公约数。$\gcd(m,o)=1$ 表示 $m$ 与 $o$ 互质，即除 $1$ 外没有其他公共正因数。本题中 $m,n,o,p$ 分别对应上述题目中的男员工增长率分母25，女员工增长率分母50，男员工增长率分子2，女员工增长率分子3。 ↩︎
裴蜀定理：设 $a,b$ 为整数，且 $a,b$ 不全为 $0$，则存在整数 $x,y$，使得$ax+by=\gcd(a,b)$。特别地，若 $\gcd(a,b)=1$，即 $a$ 与 $b$ 互质，则存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=1$，这是裴蜀定理最常用的形式。 证明：考虑集合 $S=\{ax+by\mid x,y\in\mathbb Z,\ ax+by>0\}$，因为 $a,b$ 不全为 $0$，所以$S$非空。由良序原理，$S$ 中存在最小正整数，记为$d$。设$d=ax_0+by_0$，其中 $x_0,y_0\in\mathbb Z$。对 $a$ 除以 $d$ 作带余除法，得
$$ a=qd+r,\qquad 0\le r\lt d $$其中 $q\in\mathbb Z$。 于是
$$r=a-qd=a-q(ax_0+by_0)=a(1-qx_0)+b(-qy_0)$$所以 $r$ 也是 $a$ 与 $b$ 的整数线性组合。 若 $r>0$，则 $r\in S$，且 $r
同理可证
$$d\mid b$$所以 $d$ 是 $a$ 与 $b$ 的公约数。 设 $c$ 是 $a$ 与 $b$ 的任意公约数，即
$$c\mid a,\qquad c\mid b$$因为
$$d=ax_0+by_0$$所以
$$c\mid d$$因此
$$c\le d$$这说明 $d$ 是 $a$ 与 $b$ 的最大公约数，即
$$d=\gcd(a,b)$$于是存在整数 $x_0,y_0$，使得
$$ax_0+by_0=\gcd(a,b)$$特别地，当 $\gcd(a,b)=1$ 时，存在整数 $x,y$，使得
$$ax+by=1$$ ↩︎